三次非均匀B样条曲线系数矩阵的推导

摘   要：本文从De Boor－Cox递推公式出发，推导了三次非均匀B样条曲线的系数矩阵，给出了其简单的计算式，方便了编程，加快了计算。

关键词 系数矩阵  B样条 

1．引言

均匀、准均匀B样条曲线的系数矩阵^[1]应用很广，但是非均匀B样条曲线的系数矩阵却很少使用，原因有两个：第一,现有的非均匀B样条曲线的系数矩阵的表达式^[4]很复杂，一般都由多级求和式给出，不易被理解，编程实现，计算复杂等；第二，因为有了德布尔算法^[1]，很多有关于B样条曲线的计算，都不要求计算系数矩阵。但有的时候却希望能给出非均匀B样条曲线的系数矩阵，因为系数矩阵比递推公式更直观。由于三次B样条曲线在工程上的应用很广泛，所以笔者专门推导了三次非均匀B样条曲线的系数矩阵，给出了其简单的表达式。由于均匀、准均匀B样条曲线都是非均匀B样条曲线的特例，所以该结果同样适用于均匀、准均匀B样条曲线系数矩阵的计算。

2．一般非均匀B样条曲线的定义

B样条曲线由一折线定义，该折线称为B样条曲线的控制多边形，该折线的顶点称为B样条曲线的控制点。假设某折线的顶点依次为P_i(i=0,1,…，n)，则由该折线定义的B样条曲线为：

                                  (1)

其中 称为k次规范B样条基函数，其中每一个 都称为一条k次规

范B样条，简称为B样条,共n＋1条。B样条基函数有多种等价定义，用得比较多的是作为标准算法的De Boor－Cox递推定义，又称为De Boor－Cox递推公式^[2,3],定义式如下：

           (2)

上式中 称为节点，是浮点型的值，共n+k+2个。

称为节点矢量，是一个非减的序列。由(2)式可看出，B样条基函数是由其节点矢量决定的，节点矢量不同，所得到的B样条基函数也不同。

B样条 仅在[t_i, t_i+k+1]上有非零值，并且在这个区间上也是分段定义的，即在

[t_i,t_i+1],[t_i+1,t_i+2],…,[t_i+k,t_i+k+1]子区间上分别有不同的定义式。B样条在节点处具有k-r次连续，这里r为节点的重复度，在区间内部具有无限次连续。B样条基满足规范性，即：

                                               （3）

B样条曲线的定义域为[t_k,t_n+1]，定义域以节点为分割点，被分为n-k+1个子区间，分别为[t_k,t_k+1],[t_k+1,t_k+2],…,[t_n,t_n+1]。B样条曲线也是分段定义的，它在各子区间上有不同的定义式，本文中把各段分别编号为C₀,C₁,…,C_n-k，即C_i的定义域为[t_i＋k,t _i＋k+1]。B样条曲线在节点处也具有k-r次连续，在区间内部具有无限次连续。